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可逆矩阵_

  § 3 可逆矩阵 若方阵 A 的逆阵存在,则称 A 为 非奇异方阵或可逆方阵 。 一、 可逆矩阵的定义及性质 定义 3.1 设 A ∈Mn (F ), 若存在同阶矩阵 B ,使 AB=BA=E ,则称 A 为可逆 矩阵, B 为 A 的逆矩阵,简称为 A 的逆,记为 B= A-1 。 如果 A 是可逆矩阵,那么 A 的逆是唯一的。这是因为当 B ,C 都是 A 的逆时,有 AB=BA=E=AC=CA , B=BE=B (AC )= (BAC=EC=C 。 可逆矩阵的性质: 1 、 =A ; 2 、 如果 A 可逆,数λ ≠ 0 ,那么 ( A)-1= A-1 ; 3 、 如果 A 可逆,那么,A T 也可逆,而且 ( AT )-1=( A-1)T ; 4 、 如果 A ,B 皆可逆,那么 AB 也可逆,且(AB) -1=B-1A-1 。 两个 n 阶矩阵 A 与 B 的乘积 AB=E 时,一定有 BA=E ,从而 A ,B 互为逆矩阵。 二、 矩阵的标准形 定义 3.2 如果矩阵 A 经过有限次行(列)初等变换变为矩阵 B ,就称 A 行(列)等价 于 B 。如果矩阵 A 经过有限次初等变换变为 B ,就称矩阵 A 等价于矩阵 B ,记为 。 矩阵的行等价(列等价、等价)满足如下定律: 1 自反律 2 对称律 3 传递律 如果 如果 ; 那么 ,黄金城娱乐 ; ,那么, 。 在数学中,把具有上述三条规律的关系称为等价关系。因此矩阵的等价是一种等价关系。 定义 3.3 一个矩阵中每个非零行的首元素 (指该行第一个非零元素) 出现在上一行首元素 的右边,同时,没有一个非零行出现在全零行的下方,这样的矩阵称为阶梯形矩阵。 定理 3.2 任何一个矩阵 A 都行等价于一个阶梯形矩阵。 定义 3.4 一个阶梯形矩阵,如果它的每一非零行的首元素是 1 ,且首元素所在列的其余 元素全是零,就称为简化阶梯形矩阵。 定理 3.3 任何一个矩阵行等价于一个简化阶梯形矩阵。 定理 3.4 任何一个非零矩阵 A ∈Mm × n (F )可经过有限次初等变换化为下面形似 的矩阵: = , 1 ≤r ≤min(m,n), 它称为矩阵 A 的标准形。 因此每个矩阵 A 与它的标准形等价。 推论 3.5 任意一个非零矩阵 A ∈Mm × n (F ) ,一定存在 m 阶可逆阵 P 和 n 阶可 逆阵 Q ,使 PAQ= , 其中 , 是 A 的标准形。 推论 3.6 设 A ,B ∈Mm × n (F ),A 与 B 等价的充要条件是 AB 有相同的标准形。 三 用行初等变换求逆矩阵 定理 3.7 设 A 为 n 阶矩阵,下列叙述等价: 1 、 A 是可逆阵; 2 、 A 行等价于单位阵 E ; 3 、A 可表示为一些初等矩阵的乘积。 四 矩阵方程 当 A 可逆时可用矩阵的逆求解矩阵方程 AX=B 。设 A 为 n 阶可逆阵,X ∈ Mm × n (F ) B ∈Mm × n (F ) , 则对 AX=B 两边左乘 A -1 , X= A-1B 。 , 有 由于 A -1 (A , B )= (E ,A-1 B )而 A-1 可表示为一些初等矩阵的乘积,所以把分块矩阵( A , B )进行行初等变换时,在把子块 A 变为 E 的同时,子块 B 也就变为 A-1 B ,这就是 要求的 X 。当然也可以有 A 先求出 A -1 ,再作矩阵乘法 A-1B 。 在解矩阵方程 XA=B 时,则要右乘 A-1 ,既 X=B A-1 。或者通过解方程 ATX T = BT 。 先求出 X T ,然后就可以求出 X 。