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数二)矩阵等价、相似、合同的定义及性质

  设A、B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P,使P^(-1)AP=B,则称B是A的相似矩阵,对A进行运算P^(-1)AP称对A进行的相似变换,可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。

  1.若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值相同。

  2.n阶矩阵A与对角矩阵相似(A可以对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

  一般在线代问题中,研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知,合同矩阵等秩。

  b两个n阶矩阵A和B,如果存在可逆矩阵C使得C^(T)AC=B,则称A与B合同,并称由A到B的变换为合同变换,称C为合同变换的矩阵。

  一个二次型是半正定二次型,当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。对于半正定二次型

  正定二次型对应矩阵一定是可逆矩阵,且行列式大于0。对于正定二次型,其对应的对称矩阵在实数域内合同于单位阵。一个n元二次型是正定二次型,当且仅当它的正惯性指数是n,同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。

  系列视频由汤家凤教授全程讲授,在此致谢汤家风老师 的辛勤付出!也预祝各位同学考研成功!

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