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等价矩阵和相似矩阵的关系_数学_考研论坛

  个人认为。等价不一定相似。因为等价矩阵是矩阵通过初等变换过来的。比如A=E通过变换初等变换可以变成B=2E。所以A与B等价。但他们的特征值是不同的。所以不相似。但相似一定等价。至于怎么证明我暂时不知道。

  矩阵等价的充要条件是他们的秩相等(这里要区别于向量组等价)而相似的充要条件是存在可逆矩阵P,使得p^(-1)AP=B,必要条件是r(A)=r(B),A的特征值和B相同

  相似未必合同(只有当A,B均为实对称矩阵时相似才能推出合同),但相似必等价,等价未必相似。若A与B相似,由相似的定义P^(-1)AP=B,此时可令C=P^(-1),Q=P,则C,Q均可逆,即存在可逆矩阵C,Q使CAQ=B,由等价的定义知A与B等价。总结一下关系应该是这样的:对于矩阵A,B,相似和合同一定能推出等价;若A,B均为实对称矩阵则相似能推出合同;若A,B为实对称矩阵,且在正交变换下A与B合同则能推出相似。等价是限制最少的一种关系。

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